2027학년도 수원대 대비 이과용 수학모의고사 8회 해설집

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📢 [실전모의고사] 2027학년도 수원대 대비 이과용 수학모의고사 8회 해설집 (제8회 · 응용 수준 (난이도: 중상)) (아카데미·선생님 전용 공식 검수 완결본)

QUESTIO ESSAY SERIES

2027학년도 수원대학교 교과논술 실전 대비

2027학년도 수원대 대비
이과용 수학모의고사 8회 해설집

수원대학교 (이과용 · 자연계열 A·B형 수학)

제8회 · 응용 수준 (난이도: 중상) · 수학 I·II 10문항 완벽 수록
단계별 모범답안 · 공식 채점기준 및 부분 배점(10점 만점) 수록

편저: QUESTIO 수리논술 입시연구소
감수: 아카데미·선생님 전용 QAH 품질검증위원회

2027 ACADEMIC YEAR EDITION

수학 I 지수부등식 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.9 탐구 9081 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

[문제] 부등식 \(\left(\dfrac13\right)^{x^2}\ge\left(\dfrac13\right)^{2x+3}\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 밑 \(\dfrac13\)이 \(0\)과 \(1\) 사이이므로 부등호 방향이 바뀌어 \(x^2\le2x+3\)이다.
2) \((x-3)(x+1)\le0\)에서 \(-1\le x\le3\)이다.
3) 정수 \(x\)는 \(-1,0,1,2,3\)의 \(5\)개이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
밑에 따른 부등호 방향	4점
이차부등식 풀이	3점
\(5\)개	3점

수학 I 로그방정식의 치환 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.10 탐구 9082 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

[문제] 방정식 \(\log_2x\cdot\log_2(4x)=3\)의 모든 실근의 곱을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 진수 조건 \(x\gt0\). \(\log_2x=t\)라 하면 \(\log_2(4x)=t+2\)이므로 \(t(t+2)=3\)이다.
2) \((t+3)(t-1)=0\)에서 \(t=1, -3\)이다.
3) \(x=2, \dfrac18\)이므로 곱은 \(\dfrac14\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
치환식 수립	4점
\(t=1,-3\)	3점
곱 \(\frac14\)	3점

수학 I 삼각방정식 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.13 탐구 9083 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

[문제] \(0\le x\lt2\pi\)일 때 방정식 \(2\cos^2x+\sin x-1=0\)의 모든 해의 합을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(\cos^2x=1-\sin^2x\)를 대입하면 \(2\sin^2x-\sin x-1=0\)이다.
2) \((2\sin x+1)(\sin x-1)=0\)에서 \(\sin x=1\) 또는 \(\sin x=-\dfrac12\)이다.
3) \(x=\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\)이므로 합은 \(\dfrac{7\pi}{2}\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
\(\sin x\)에 대한 이차식	3점
인수분해	3점
해와 합 \(\frac{7\pi}{2}\)	4점

수학 I 사인법칙과 외접원 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 탐구 9084 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 외접원의 반지름의 길이가 \(2\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle B=\dfrac{\pi}{4},\ \angle C=\dfrac{\pi}{3}\)일 때, 세 변 \(\overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 사인법칙에 의하여 \(\overline{\mathrm{AC}}=2R\sin B=2\sqrt2\), \(\overline{\mathrm{AB}}=2R\sin C=2\sqrt3\)이다.
2) \(\angle A=\dfrac{5\pi}{12}\)이고 \(\sin\dfrac{5\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)이다.
3) \(\overline{\mathrm{BC}}=2R\sin A=\sqrt6+\sqrt2\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
두 변 계산	4점
\(\sin A\) 계산	3점
\(\overline{BC}\)	3점

수학 I 수열의 합과 일반항, 부분분수 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.15 탐구 9085 변형 | 성취기준: 12대수03-04]

[문제] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합이 \(S_n=2n^2+3n\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\frac{1}{a_ka_{k+1}}\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(a_1=5\), \(n\ge2\)일 때 \(a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1\)이고 \(n=1\)에서도 성립한다.
2) \(\dfrac{1}{a_ka_{k+1}}=\dfrac14\left(\dfrac{1}{4k+1}-\dfrac{1}{4k+5}\right)\)이다.
3) 합은 \(\dfrac14\left(\dfrac15-\dfrac1{45}\right)=\dfrac{2}{45}\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
일반항 \(4n+1\)	4점
부분분수 분해	3점
합 \(\frac{2}{45}\)	3점

수학 II 분모의 유리화와 극한 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 9086 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{ax+4}-2}=1\)을 만족시키는 양수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 분모를 유리화하면 \(\dfrac{x(\sqrt{ax+4}+2)}{ax}=\dfrac{\sqrt{ax+4}+2}{a}\)이다.
2) \(x\to0\)일 때 극한값은 \(\dfrac4a\)이다.
3) \(\dfrac4a=1\)이므로 \(a=4\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
유리화	4점
극한값 \(\frac4a\)	3점
\(a=4\)	3점

수학 II 곱으로 정의된 함수의 연속 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.9 탐구 9087 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 함수 \(f(x)=\begin{cases}x+a & (x\lt1)\\ x^2-3 & (x\ge1)\end{cases}\)는 \(x=1\)에서 불연속이고, 함수 \(f(x)(x-b)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 상수 \(b\)의 값을 구하고, \(a\ne-3\)인 이유를 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(f(x)(x-b)\)가 \(x=1\)에서 연속이려면 \((1+a)(1-b)=(1-3)(1-b)\), 즉 \((1-b)(a+3)=0\)이다.
2) \(f\)가 \(x=1\)에서 불연속이므로 \(1+a\ne-2\), 즉 \(a\ne-3\)이다.
3) 따라서 \(1-b=0\), \(b=1\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
좌·우극한 일치 식	4점
불연속 조건으로 \(a\ne-3\)	3점
\(b=1\)	3점

수학 II 접선과 법선 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 탐구 9088 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05]

[문제] 곡선 \(y=x^3-3x\) 위의 점 \((2, 2)\)에서의 접선과, 이 점을 지나고 접선에 수직인 직선이 \(x\)축과 만나는 두 점 사이의 거리를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(y'=3x^2-3\)에서 기울기 \(9\), 접선은 \(y=9x-16\)이고 \(x\)절편은 \(\dfrac{16}{9}\)이다.
2) 수직인 직선은 \(y=-\dfrac19(x-2)+2\)이고 \(x\)절편은 \(20\)이다.
3) 두 점 사이의 거리는 \(20-\dfrac{16}{9}=\dfrac{164}{9}\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
접선과 절편	4점
수직인 직선과 절편	3점
거리 \(\frac{164}{9}\)	3점

수학 II 정적분으로 정의된 함수의 극값 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 탐구 9089 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

[문제] 함수 \(f(x)=\displaystyle\int_0^x(t^2-4)\,dt\)의 극댓값과 극솟값의 차를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(f'(x)=x^2-4=(x+2)(x-2)\)이므로 \(x=-2\)에서 극대, \(x=2\)에서 극소이다.
2) \(f(x)=\dfrac{x^3}{3}-4x\)이므로 \(f(-2)=\dfrac{16}{3},\ f(2)=-\dfrac{16}{3}\)이다.
3) 차는 \(\dfrac{32}{3}\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
도함수와 극점	4점
극값 계산	3점
차 \(\frac{32}{3}\)	3점

수학 II 속도와 움직인 거리 난이도: 중상 (응용 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 9090 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)=3t^2-12t+9\)일 때, \(t=0\)에서 \(t=4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(v(t)=3(t-1)(t-3)\)이므로 \(t=1, 3\)에서 운동 방향이 바뀐다.
2) 위치 \(x(t)=t^3-6t^2+9t\)에서 \(x(1)=4, x(3)=0, x(4)=4\)이다.
3) 움직인 거리는 \(4+4+4=12\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
방향 전환 시각	3점
구간별 위치	4점
거리 \(12\)	3점

📝 [제8회 이과용 · 수학 1번 문항]

📝 [제8회 이과용 · 수학 2번 문항]

📝 [제8회 이과용 · 수학 3번 문항]

📝 [제8회 이과용 · 수학 4번 문항]

📝 [제8회 이과용 · 수학 5번 문항]

📝 [제8회 이과용 · 수학 6번 문항]

📝 [제8회 이과용 · 수학 7번 문항]

📝 [제8회 이과용 · 수학 8번 문항]

📝 [제8회 이과용 · 수학 9번 문항]

📝 [제8회 이과용 · 수학 10번 문항]